概率统计知识点整理（3）随机变量及其数学特征

一、随机变量分布函数及密度函数的定义、关系及性质

1、分布函数

$F(x) = P(X \leq x), x \in R$ ，密度函数满足 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x)dx$ ，且 $f(x) \geq 0$

2、分布函数的性质：

① $\forall x_1 \lt x_2, F(x_1) \leq F(x_2)$
② $F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$
③ $\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)$ ，即 $F(x)$ 右连续
④ $P(X = x_0) = F(x_0) - F(x_0 - 0)$
⑤ $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a - 0)$ （易错）

3、密度函数的性质：

① $f(x) \geq 0$
② $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$ （归一化性质）
③ $\forall a \lt b, P(a \lt X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)dx$
④ 若 $F(x)$ 连续可导，且在 $f(x)$ 连续点有 $F'(x) = f(x)$

二、随机变量函数的分布

若 $Z = g(X)$ ，仅需解 $Z = g(X) \leq z$ 的解集 $G = \{x | a \leq x \leq b\}$ ，

则 $F_Z(z) = F_X(b) - F_X(a - 0)$ ，再对其求导即可得 $f_Z(z)$ 。其中 $a, b$ 一般是关于 $z$ 的一个函数。

三、二维随机变量的分布函数、密度函数及边缘密度、条件密度定义、关系与性质

1、

$F(x,y) = P(X \leq x, Y \leq y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(x,y)dxdy$ ，其中 $f(x,y)$ 非负

2、分布函数的性质：

① $F(+\infty, +\infty) = 1, F(-\infty, *) = F(*, -\infty) = 0$
② $\forall x_1 \lt x_2, F(x_1, y) \leq F(x_2, y)$ ； $\forall y_1 \lt y_2, F(x, y_1) \leq F(x, y_2)$
③ $F(x,y)$ 对 $x$ 及 $y$ 均右连续，即 $F(x+0, y) = F(x, y+0) = F(x,y)$
④ $P(x_1 \lt X \leq x_2, y_1 \lt Y \leq y_2) = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1) \geq 0$

3、密度函数的性质：

① $f(x,y) \geq 0$
② $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dxdy = 1$ （归一化性质）
③ $f(x,y) = \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$ ，在 $F(x,y)$ 二阶连续可导且 $f(x,y)$ 连续时
④ $P((X,Y) \in G) = \iint\limits_{G} f(x,y)dxdy$
⑤ $P((X,Y) \in L) = 0$ ，其中 $L$ 是平面上一直线

4、边缘密度及性质：

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dy = \frac{\partial F(x, +\infty)}{\partial x}$ ， $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx = \frac{\partial F(+\infty, y)}{\partial y}$

当 $F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$ 或 $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) \Rightarrow X, Y$ 相互独立

5、条件密度及性质：

$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ ， $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

$F(x|y) = \int_{-\infty}^{x} f_{X|Y}(x|y)dx$ ， $F(y|x) = \int_{-\infty}^{y} f_{Y|X}(y|x)dy$

四、二维随机变量函数的分布

若 $Z = g(X,Y)$ ，与一维随机变量同理，由 $Z = g(X,Y) \leq z$ 解出区域 $G$

为 $Z = g(X,Y) \leq z$ 的解集，则 $F_Z(z) = \iint\limits_{G_z} f(x,y)dxdy$ ，求其混合偏导，再对其求导即为 $f_Z(z)$ 。其中 $G$ 亦为与 $z$ 相关的，需要对 $z$ 分类讨论，往往

五、卷积公式

若 $Z = X + Y$ ，则 $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y)dy$

特别地，若 $X, Y$ 相互独立，则

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy$

六、数学期望的定义及性质（用以描述均值）

$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$ （离散）或 $\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$ （连续）

特别地，若 $Y = g(X)$ ，则 $E(Y) = \sum_{k=1}^{\infty} g(x_k)p_k$ 或 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx$

对两二维随机变量同理，若 $Z = g(X,Y)$ ，则

$E(Z) = \sum_{i}\sum_{j} g(x_i, y_j)p_{ij}$ 或 $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy$

性质：

① 若 $C$ 为常数，则 $E(C) = C$
② 线性性质： $E(\sum_{i=1}^{n} C_i X_i + b) = \sum_{i=1}^{n} C_i E(X_i) + b$
③ 若 $X, Y$ 相互独立， $E(XY) = E(X)E(Y)$

常见分布的数学期望见一。

七、方差的定义及性质（用以描述离对均值的偏离程度）

$D(X) = \sum_{k=1}^{\infty} [x_k - E(X)]^2 p_k$ 或 $\int_{-\infty}^{+\infty} [x - E(X)]^2 f(x)dx = E[(X - E(X))^2]$

$= E(X^2) - [E(X)]^2$ ， $\sqrt{D(X)}$ 称为标准差/均方差（ $\sigma$ ）

性质：

① 若 $C$ 为常数， $D(C) = 0$
② $D(\sum_{i=1}^{n} C_i X_i) = \sum_{i=1}^{n} C_i^2 D(X_i) + 2C_i C_j \sum_{i \lt j} \text{cov}(X_i, X_j)$
③ $D(X) = 0 \iff P(X = C) = 1$ ，且 $C = E(X)$