概率统计知识点整理(2) 数理统计部分

一、抽样分布定理

1. 基本概念

• 总体与个体：研究对象的某项指标全体称为总体，每个单元称为个体。
• 简单随机样本：来自总体 $X$ 的 $n$ 个相互独立且与总体同分布的随机变量 $X_1, X_2, ..., X_n$。
• 统计量：样本的函数且不包含未知参数，如样本均值、样本方差。

2. 常用统计量

统计量	定义	备注
样本均值	$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$	$E(\bar{X}) = \mu$
样本方差	$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$	$E(S^2) = \sigma^2$
样本标准差	$S = \sqrt{S^2}$
$k$阶原点矩	$A_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k$
$k$阶中心矩	$B_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^k$

3. 三大抽样分布（正态总体）

设 $X_1, X_2, ..., X_n$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，则：

分布	定义	表达式	性质
$\chi^2$分布	$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$	$\chi^2 \sim \chi^2(n)$	可加性：若$\chi^2_1 \sim \chi^2(m),\chi^2_2 \sim \chi^2(n)$，则$\chi^2_1+\chi^2_2 \sim \chi^2(m+n)$
$t$分布	$t = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$	$t \sim t(n-1)$	对称性，$n \to \infty$时趋近于$N(0,1)$
$F$分布	$F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}$	$F \sim F(n_1-1, n_2-1)$	若$F \sim F(m,n)$，则$1/F \sim F(n,m)$

4. 正态总体下的抽样定理

• $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
• $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
• $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立

二、参数估计

1. 点估计

（1）矩估计法

核心思想：用样本矩估计总体矩，用样本矩的函数估计总体矩的函数。

步骤：

1. 写出总体矩 $E(X^k)$ 关于未知参数的表达式
2. 令样本矩 $A_k = \frac{1}{n}\sum X_i^k$ 等于总体矩
3. 解方程组得参数的矩估计量

性质：矩估计具有相合性，但可能不唯一。

（2）极大似然估计法

核心思想：选择使样本观测值出现概率最大的参数值作为估计值。

步骤：

1. 构造似然函数
   • 离散型：$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i=x_i;\theta)$
   • 连续型：$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta)$
2. 取对数得 $\ln L(\theta)$
3. 对 $\theta$ 求导并令导数为0
4. 解似然方程得极大似然估计

性质：若 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的MLE，$g$ 是单调函数，则 $g(\hat{\theta})$ 是 $g(\theta)$ 的MLE。

2. 估计量的评选标准

标准	定义	说明
无偏性	$E(\hat{\theta}) = \theta$	$\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计；$S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计
有效性	无偏前提下，方差越小越有效	比较两个无偏估计时使用
相合性	$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$ ( $n \to \infty$ )	样本矩是总体矩的相合估计

3. 区间估计（数一要求）

置信区间：$P(\hat{\theta}_L < \theta < \hat{\theta}_U) = 1-\alpha$，其中 $1-\alpha$ 为置信水平。

单正态总体均值的置信区间

情况	枢轴量	置信区间
$\sigma^2$已知	$U = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$	$\left(\bar{X} \pm u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
$\sigma^2$未知	$t = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$	$\left(\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

单正态总体方差的置信区间

• 枢轴量：$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
• 置信区间：$\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$

两个正态总体（数一要求）

• 均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间（方差已知/未知）
• 方差比 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的置信区间（用 $F$ 分布）

三、假设检验

1. 基本概念

• 原假设 $H_0$：通常为“无差异”或“等于某值”的假设
• 备择假设 $H_1$：与原假设对立的假设
• 检验统计量：用于决策的统计量
• 拒绝域：使拒绝 $H_0$ 的样本值范围
• 显著性水平 $\alpha$：犯第一类错误的概率

2. 两类错误

类型	定义	概率
第一类错误	弃真（拒绝真实的 $H_0$）	$P(\text{拒绝}H_0
第二类错误	取伪（接受错误的 $H_0$）	$P(\text{接受}H_0

3. 假设检验的一般步骤

1. 根据问题提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$
2. 选取合适的检验统计量
3. 给定显著性水平 $\alpha$，确定拒绝域
4. 根据样本观测值计算统计量的值
5. 做出判断：落入拒绝域则拒绝 $H_0$，否则接受 $H_0$

4. 正态总体的假设检验（数一要求）

单个正态总体的均值检验

条件	$H_0$	检验统计量	分布	拒绝域
$\sigma^2$已知	$\mu = \mu_0$	$U = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$	$N(0,1)$	$|U| > u_{\alpha/2}$
$\sigma^2$未知	$\mu = \mu_0$	$t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$	$|t| > t_{\alpha/2}(n-1)$

单个正态总体的方差检验

$H_0$	检验统计量	分布	拒绝域
$\sigma^2 = \sigma_0^2$	$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$	$\chi^2(n-1)$	$\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$

两个正态总体的检验

• 均值差检验（$t$ 检验，分方差相等/不等情形）
• 方差比检验（$F$ 检验）

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附：考研数学一重点提示

1. 必考题型：

   • 求参数的矩估计和极大似然估计（解答题）
   • 验证估计量的无偏性
   • 单个正态总体参数的区间估计（近年填空题出现）

2. 数一特有内容：

   • 估计量的评选标准（无偏性、有效性、相合性）
   • 区间估计（单总体和双总体）
   • 假设检验（两类错误的理解）

3. 解题技巧：

   • 矩估计：先求总体矩，再令其等于样本矩
   • 极大似然估计：连续型注意定义域分段情况，离散型注意概率表达式
   • 区间估计：先找枢轴量，再反解不等式