概率统计知识点整理（1） 常见概率分布

本文总结了常见的离散与连续性概率分布，列表介绍了他们的分布名称及记号、概率分布（或密度函数(概率部分)或构造方式(统计部分)）、期望及方差与可能有的特殊性质，可用作概率统计课程复习或工程使用的快速查阅。

分布（及记号）	概率分布	期望\方差	特殊性质
几何分布 $X \sim G(p)$	$P(X=k)=q^{k-1}p$ $(q=1-p)$	$E(X)=\frac{1}{p}$ $D(X)=\frac{q}{p^2}$	无记忆性 即$P(X>k+t \mid X$ $>t) =P(X>k)$
二项分布 $X \sim B(n,p)$	$P(X=k)=\text{C}_{n}^{k}q^{n-k}p^k$	$E(X)=np$ $D(X)=npq$	独立可加性 即若$X_i \sim B(n_i,p)$ 则$ \sum X_i \sim B(\sum n_i,p)$
超几何分布 $X \sim $ $H(n,M,N)$	$P(X=k)=\frac{\text{C}_{\text{M}}^{k}\text{C}_{\text{N}-\text{M}}^{\text{n}-\text{k}}}{\text{C}_{\text{N}}^{\text{k}}}$	$E(X)=n \frac{M}{N}$ $D(X)=$ $n\frac{M(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$	可近似为二项分布 ($N$足够大时 认为$X \sim B(n,\frac{M}{N})$)
泊松分布 $X \sim P(\lambda)$	$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$E(X)=\lambda$ $D(X)=\lambda$	1.独立可加性(卷积证明) 2.可用于近似二项分布 (要求$p$很小且$n$很大)
均匀分布 $X \sim U(a,b)$	$f(x)=\frac{1}{b-a}$ $a \le x \le b$	$E(X)=\frac{a+b}{2}$ $D(X)=\frac{(a-b)^2}{12}$	×
指数分布 $X \sim e(\lambda)$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ $x>0$	$E(X)=\frac{1}{\lambda}$ $D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$	无记忆性 即$P(X>k+t \mid X$ $>t) =P(X>k)$
$\Gamma$分布 $X \sim \Gamma(\alpha,\beta)$	$f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$ $x>0$	$E(X)=\frac{\alpha}{\beta}$ $D(X)=\frac{\alpha}{\beta^2}$	独立可加性 即若$X_i \sim \Gamma (\alpha_i,\beta)$ 则$ \sum X_i \sim \Gamma (\sum \alpha_i,\beta)$
正态/Gauss分布 $X \sim N(\mu,\sigma)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$E(X)=\mu$ $D(X)=\sigma^2$	可用于随机变量序列近似 即中心极限定理
二维正态分布 $(X,Y) \sim $ $(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho)$	$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}$ $e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}$	$E(X)=\mu_1$ $E(Y)=\mu_2$ $ D(Y)=\sigma_1^2 $ $ D(X)=\sigma_2^2 $	1.独立与不相关等价 2.线性可加性 即$aX+bY \sim $ $ N(a\mu_1+b\mu_2,$ $\sqrt{a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2}) $
$\chi^2$分布 $X \sim \chi^2(n)$	$X=\Sigma X_i^2$ 其中$X_i \sim N(0,1)$ 且独立	$E(X)=\frac{1}{n-1}$ $D(X)=$ $\frac{1}{(n-1)^2}$	1.$\chi^2(n)$即分布$\Gamma(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2}) $ 2.独立可加性 即若$X_i \sim \chi^2(n_i)$ 则$\Sigma X_i \sim \chi^2(\Sigma n_i)$
$t$分布 $X \sim t(n)$	$X=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}} $ 其中$U \sim N(0,1),V \sim \chi^2(n)$ 且独立	$E(X)=0 $ $(n>1) $ $D(X)=\frac{n}{n-2}$ $(n>2) $	$n \to \infty$时，$t(n)$依分布 收敛于$N(0,1)$
$F$分布 $X \sim F(m,n)$	$X=\frac{U/m}{V/n}$ 其中$U \sim \chi^2(m)$,$V \sim \chi^2(n)$ 且独立	$E(X)=\frac{n}{n-2}$ $(n>2) $ $D(X)=$ $\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}$ $(n>4)$	若$X \sim F(m,n)$,则 $\frac{1}{X} \sim F(m,n)$