以下电磁场知识点整理及题目均基于 马西奎 工程电磁场导论 北京 高等教育出版社, 2000. Print. 面向21世纪课程教材 Mian Xiang 21shi Ji Ke Cheng Jiao Cai = Textbook Series for 21st Century Eng. （第一版） 旨在为四川大学电气工程及其自动化专业的电磁场课程提供一个知识纲要性质的文本，以供课程平时学习及期末复习使用。考点及考试范围主要参考王仲老师的讲课内容及2024-2025学年期末考试题目，由于历年考试范围不同，其覆盖范围可能与实际考试范围有所出入。
由于本章节以基础概念为主，故没有题型整理，仅需记忆关键公式即可。
第五章 准静态电磁场
1. 电准静态场（EQS）
对 Maxwell 方程组，略去∂ B ⃗ ∂ t \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ∂ t ∂ B E ⃗ i ≪ E ⃗ e \vec{E}_i \ll \vec{E}_e E i ≪ E e 无旋 ，从而有
∇ × E ⃗ = ∇ × ( E ⃗ i + E ⃗ e ) ≈ ∇ × E ⃗ e = 0 \nabla \times \vec{E} = \nabla \times (\vec{E}_i + \vec{E}_e) \approx \nabla \times \vec{E}_e = 0
∇ × E = ∇ × ( E i + E e ) ≈ ∇ × E e = 0
称为电准静态场(EQS)。此时只要已知源 ρ \rho ρ D ⃗ \vec{D} D E ⃗ \vec{E} E H ⃗ \vec{H} H E ⃗ i \vec{E}_i E i ∇ × E ⃗ i = 0 \nabla \times \vec{E}_i = 0 ∇ × E i = 0
2. 磁准静态场（MQS）
若略去 ∂ D ⃗ ∂ t \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} ∂ t ∂ D ∇ × H ⃗ ≈ J ⃗ \nabla \times \vec{H} \approx \vec{J} ∇ × H ≈ J
∇ × B ⃗ = A ⃗ , E ⃗ = − ∂ A ⃗ ∂ t − ∇ φ , ∇ 2 A ⃗ = − μ J ⃗ , ∇ 2 φ = − ρ ε \nabla \times \vec{B} = \vec{A},\quad \vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \nabla \varphi,\quad \nabla^2 \vec{A} = -\mu \vec{J},\quad \nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}
∇ × B = A , E = − ∂ t ∂ A − ∇ φ , ∇ 2 A = − μ J , ∇ 2 φ = − ε ρ
从而只要知道电流及电荷分布，即可略去电磁场波动性，直接利用静态公式求解。故而这种场也称为 似稳场 。
3.
导体内的MQS条件为 ω ε γ ≪ 1 \frac{\omega \varepsilon}{\gamma} \ll 1 γ ω ε ≪ 1 涡流 (准静态) 场 ；满足条件的导体称为良导体；
ω R v = 2 π R λ < < 1 or R ≪ λ \frac{\omega R}{v} = \frac{2\pi R}{\lambda} << 1 \quad \text{or} \quad R \ll \lambda
v ω R = λ 2 π R << 1 or R ≪ λ
满足此条件的区域称为近区或似稳区。这说明若要按MQS处理，应有载流系统尺寸远小于电磁波波长。低频交流线圈中磁场属MQS。
4. 在MQS近似下推导基尔霍夫定律
利用MQS可推导基尔霍夫电流定律、电压定律过程如下：
∇ × H ⃗ = J ⃗ \nabla \times \vec{H} = \vec{J}
∇ × H = J
有
∇ ⋅ J ⃗ = 0 \nabla \cdot \vec{J} = 0
∇ ⋅ J = 0
即
∮ J ⃗ ⋅ d S ⃗ = 0 \oint \vec{J} \cdot d\vec{S} = 0
∮ J ⋅ d S = 0
取闭合面包含节点。基尔霍夫电流定律即得证。
由于
J ⃗ = γ ( E ⃗ + E ⃗ e ) , E ⃗ = − ∂ A ⃗ ∂ t − ∇ φ \vec{J} = \gamma (\vec{E} + \vec{E}_e),\quad \vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \nabla \varphi
J = γ ( E + E e ) , E = − ∂ t ∂ A − ∇ φ
有
E ⃗ e = J ⃗ γ + ∂ A ⃗ ∂ t + ∇ φ \vec{E}_e = \frac{\vec{J}}{\gamma} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} + \nabla \varphi
E e = γ J + ∂ t ∂ A + ∇ φ
积分得
∮ l E ⃗ e ⋅ d l ⃗ = ∮ l ( J ⃗ γ + ∂ A ⃗ ∂ t + ∇ φ ) ⋅ d l ⃗ \oint_l \vec{E}_e \cdot d\vec{l} = \oint_l (\frac{\vec{J}}{\gamma} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} + \nabla \varphi) \cdot d\vec{l}
∮ l E e ⋅ d l = ∮ l ( γ J + ∂ t ∂ A + ∇ φ ) ⋅ d l
等号左侧为 电源电动势 ，右侧三项分别为电阻压降、感应电动势与电容器电压。
以上推导说明电路理论仅为Maxwell方程组在特殊条件下的近似，当系统尺寸远小于波长时，可忽略推迟效应，使用磁准静态研究。
5. 弛豫效应
在EQS中，将 ∇ × H ⃗ = ∂ D ⃗ ∂ t + J ⃗ \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + \vec{J} ∇ × H = ∂ t ∂ D + J
ε ∂ ∂ t ∇ ⋅ E ⃗ + γ ∇ ⋅ E ⃗ = 0 \varepsilon \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \vec{E} + \gamma \nabla \cdot \vec{E} = 0
ε ∂ t ∂ ∇ ⋅ E + γ ∇ ⋅ E = 0
又由 ∇ ⋅ D ⃗ = ε ∇ ⋅ E ⃗ = ρ \nabla \cdot \vec{D} = \varepsilon \nabla \cdot \vec{E} = \rho ∇ ⋅ D = ε ∇ ⋅ E = ρ
∂ ρ ∂ t + γ ε ρ = 0 \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\gamma}{\varepsilon} \rho = 0
∂ t ∂ ρ + ε γ ρ = 0
其通解为
ρ = ρ 0 ( x , y , z ) e − t τ e \rho = \rho_0(x,y,z) e^{-\frac{t}{\tau_e}}
ρ = ρ 0 ( x , y , z ) e − τ e t
表明导体中自由电荷密度按指数衰减，称为电荷的弛豫 。弛豫时间 τ e = ε γ \tau_e = \frac{\varepsilon}{\gamma} τ e = γ ε τ e ≪ 1 \tau_e \ll 1 τ e ≪ 1
又由EQS中近似有 ∇ × E ⃗ = 0 \nabla \times \vec{E} = 0 ∇ × E = 0 E ⃗ = − ∇ φ \vec{E} = -\nabla \varphi E = − ∇ φ
∇ 2 φ = − ρ 0 ε e − t τ e \nabla^2 \varphi = -\frac{\rho_0}{\varepsilon} e^{-\frac{t}{\tau_e}}
∇ 2 φ = − ε ρ 0 e − τ e t
从而有
φ ( x , y , z , t ) = ( ∫ V ρ 0 4 π ε R d V ) ⋅ e − t τ e = φ 0 ( x , y , z ) e − t τ e \varphi(x,y,z,t) = \left( \int_V \frac{\rho_0}{4\pi\varepsilon R} dV \right) \cdot e^{-\frac{t}{\tau_e}} = \varphi_0(x,y,z) e^{-\frac{t}{\tau_e}}
φ ( x , y , z , t ) = ( ∫ V 4 π εR ρ 0 d V ) ⋅ e − τ e t = φ 0 ( x , y , z ) e − τ e t
说明电位 φ \varphi φ
6. 分片导体系统的衔接条件
在分片均匀导体中，分界衔接条件 E 1 t = E 2 t E_{1t} = E_{2t} E 1 t = E 2 t D 2 n − D 1 n = ε 2 E 2 − ε 1 E 1 = σ D_{2n} - D_{1n} = \varepsilon_2 E_2 - \varepsilon_1 E_1 = \sigma D 2 n − D 1 n = ε 2 E 2 − ε 1 E 1 = σ ∇ ⋅ J ⃗ + ∂ ρ ∂ t = 0 \nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 ∇ ⋅ J + ∂ t ∂ ρ = 0 J 2 n − J 1 n + ∂ σ ∂ t = 0 J_{2n} - J_{1n} + \frac{\partial \sigma}{\partial t} = 0 J 2 n − J 1 n + ∂ t ∂ σ = 0
从而有 γ 2 E 2 − γ 1 E 1 + ∂ ∂ t ( ε 2 E 2 − ε 1 E 1 ) = 0 \gamma_2 E_2 - \gamma_1 E_1 + \frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_2 E_2 - \varepsilon_1 E_1) = 0 γ 2 E 2 − γ 1 E 1 + ∂ t ∂ ( ε 2 E 2 − ε 1 E 1 ) = 0
7.
在MQS近似中，有 ∇ × H ⃗ = J ⃗ \nabla \times \vec{H} = \vec{J} ∇ × H = J ∇ × ∇ × H ⃗ = ∇ ( ∇ ⋅ H ⃗ ) − ∇ 2 H ⃗ = ∇ × J ⃗ \nabla \times \nabla \times \vec{H} = \nabla(\nabla \cdot \vec{H}) - \nabla^2 \vec{H} = \nabla \times \vec{J} ∇ × ∇ × H = ∇ ( ∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H = ∇ × J
而 J ⃗ = γ E ⃗ \vec{J} = \gamma \vec{E} J = γ E ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ∇ × E = − ∂ t ∂ B B ⃗ = μ H ⃗ \vec{B} = \mu \vec{H} B = μ H ∇ 2 H ⃗ = μ γ ∂ H ⃗ ∂ t \nabla^2 \vec{H} = \mu\gamma \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} ∇ 2 H = μ γ ∂ t ∂ H ∇ 2 E ⃗ = μ γ ∂ E ⃗ ∂ t \nabla^2 \vec{E} = \mu\gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} ∇ 2 E = μ γ ∂ t ∂ E ∇ 2 J ⃗ = μ γ ∂ J ⃗ ∂ t \nabla^2 \vec{J} = \mu\gamma \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} ∇ 2 J = μ γ ∂ t ∂ J
8. 集肤效应
当频率很高时，交变电磁场几乎仅于导体附近一薄层中存在，向内以 e − α x e^{-\alpha x} e − αx 集肤效应 。频率越高，导电性能越好的导体集肤效应越明显。其中透射深度 d = 1 α = 2 μ γ ω d = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\mu\gamma\omega}} d = α 1 = μ γω 2
9. 涡流的产生与作用
大块导体处在变化磁场内会感应出内部自成闭合回路、呈旋涡状流动的涡流 。涡流会减弱外磁场变化，且具有去磁效应。
10. 涡流损耗功率
在薄导电平板中，磁场在中心处取最小值，电流密度在表面处取最大值，涡流损耗 P = ∫ V 1 γ ∣ J ⃗ e ∣ 2 d V P = \int_V \frac{1}{\gamma} |\vec{J}_e|^2 dV P = ∫ V γ 1 ∣ J e ∣ 2 d V δ \delta δ P = 1 12 γ ω 2 B z a v 2 V P = \frac{1}{12} \gamma \omega^2 B_{zav}^2 V P = 12 1 γ ω 2 B z a v 2 V P ↓ P \downarrow P ↓ γ ↓ \gamma \downarrow γ ↓ a ↓ a \downarrow a ↓
11. 交流阻抗
在交流条件下，由于集肤效应，实际载流截面积减小，交流阻抗应为 Z = − ∮ S ( E ⃗ × H ⃗ ∗ ) ⋅ d S ⃗ I 2 Z = \frac{-\oint_S (\vec{E} \times \vec{H}^*) \cdot d\vec{S}}{I^2} Z = I 2 − ∮ S ( E × H ∗ ) ⋅ d S Z Z Z d d d 表面阻抗 。同一根导线，交流阻抗远大于直流。为减小 Z Z Z
12. 邻近效应
通有交变电流的导体彼此放的靠近时，则每一导体不仅处于本身的电磁场中，同时还处于其他载流导体的电磁场中，使每一导体的电流分布与导体单独存在时不同，这种相互影响称为邻近效应。频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
13. 电磁屏蔽 （注意与静电屏蔽和磁屏蔽区分）
（待补充）
