交流绕组及其感应电动势

一、交流绕组的构成原则与基本术语

1. 交流绕组的构成原则

合成电动势和磁动势的波形接近正弦波，谐波分量尽可能小；
在一定的导体数下，能得到较大的基波电动势和磁动势；
三相绕组中，电动势和磁动势的基波对称，即三相大小相等，相位互差 $120^\circ$ ，且三相阻抗相等；
绕组铜耗小，用铜量少；
绝缘可靠，机械强度高，散热条件好，制造工艺简单，维护检修方便。

2. 基本术语

术语	定义与公式
机械角度	电机定子内圆一周为 $360^\circ$
电角度	一对磁极占用的空间为 $360^\circ$ 电角度
电角度与机械角度关系	$\text{电角度} = p \times \text{机械角度}$
极距 $\tau$	沿定子铁心内圆相邻两个异性磁极之间的距离： $\tau = \dfrac{\pi D}{2p} = \dfrac{Z}{2p}$ （槽数表示）
线圈节距 $y$	线圈有效边在定子圆周上的距离，一般用槽数计算。节距应接近极距以获得较大电动势
短距线圈	$y < \tau$ ；整距线圈 $y = \tau$ ；长距线圈 $y > \tau$
槽距角 $\alpha$	相邻两个槽之间的电角度： $\alpha = \dfrac{p \times 360^\circ}{Z}$
每极每相槽数 $q$	每相绕组在每个磁极下平均占有的槽数： $q = \dfrac{Z}{2pm}$
整数槽绕组	$q$ 为整数
分数槽绕组	$q$ 为分数
相带	每一磁极下，每相绕组所占有的电角度。 $q\alpha = \dfrac{180^\circ}{m}$ ；三相电机 $m=3$ ， $q\alpha = 60^\circ$ ，即 $60^\circ$ 相带绕组
极相组	每个磁极下属于同一相的 $q$ 个线圈串联组成线圈组

注意：长距线圈和短距线圈能削弱高次谐波电动势或磁动势，但长距线圈端接较长，很少采用。

二、槽电动势星形图与相带划分

1. 槽电动势星形图

当把定子各槽内导体按正弦规律变化的电动势分别用相量表示，由这些相量构成的一个辐射星形图，称为槽电动势星形图。它是分析交流绕组的有效方法。

槽中的每一导体，基波电动势有相同幅值；
相位按槽的位置依次相差槽距角 $\alpha$ ；
各槽导体感应电动势有相位差，大小等于槽距角；
对于每极每相整数槽绕组，电机的极对数即为槽电动势星形图的重复数。

2. 相带划分

每一相绕组有首末端，三相绕组 A-X, B-Y, C-Z，在空间上分布为 A-Z-B-X-C-Y 六部分，即总的绕组应分为六部分，一般用 $60^\circ$ 相带。

根据槽电动势星形图，可以按相带划分各槽所属的相。如 A 相绕组由 1、2、7、8、13、14、19、20 等槽组成（视具体电机而定）。

注意：电机是不断旋转的，每槽电动势的大小和方向都在不断变化。但若选定某一瞬间进行研究，各相量之间的关系都是不变的。

三、三相单层绕组

1. 基本概念

定义：定子每槽中只有一个线圈边的三相交流绕组。
线圈数：定子总槽数为 $Z$ ，单层绕组的线圈数为定子总槽数的一半，即 $Z/2$ 。
分类：按照线圈的形状和端部连接方式的不同，单层绕组主要有等元件式、同心式和交叉式。

2. 等元件式绕组

每个线圈节距 $y$ 相等，同属一相的多个线圈组成两个线圈组，线圈组构成绕组时，两个线圈组按电动势相加的原则连接，即头-尾-头-尾依次顺向串联，应使通入电流后能按要求形成所需极数的磁场。

3. 同心式绕组

同一线圈组的两个线圈，大小不同，但中心线重合。与等元件式绕组类似，线圈组间的连线也是顺向串联。

4. 交叉式绕组

与等元件式绕组比较，只改变了同一相中各线圈边电动势相加的先后次序，并不影响相电动势的大小。需要注意的是，按照电动势相加的原则，极间连线应该反串，即：尾接尾，头接头。

5. 三相单层绕组的特点

项目	内容
优点	线圈数量少，制造工时省，槽内无需层间绝缘，槽利用率高
缺点	不易制成短距线圈来削弱电动势和磁动势中的高次谐波；对大功率电机，单层绕组端部安装也比较困难
应用	一般用于功率在 10 千瓦以下的异步电机。随着变频调速的发展，交流电动机绕组采用单层、整距更为有利

四、三相双层绕组

1. 基本概念

定义：双层绕组的每个槽内有上、下两个线圈边。同一个线圈的一条边在某一槽的上层，另一条边则在相距为 $y$ 的另一槽的下层。
线圈数：整个绕组的线圈数与槽数相等。
分类：根据线圈的形状和连接规律，双层绕组可分为迭绕组和波绕组两类。

2. 优点

在采用分布绕组的同时，选择最合适的节距，可改善电动势和磁动势波形；
所有线圈尺寸相同，便于制造；
端部形状排列整齐，有利于散热和增强机械强度。

3. 迭绕组

定义：绕组嵌线时，相邻的两个串联线圈中，后一个线圈紧"迭"在前一个线圈上。
优点：短距时端部可以节约部分用铜量。
缺点：最后几个线圈嵌线较困难，极间连线较长，在极数较多时很费铜。
应用：迭绕组一般为多匝，主要用于一般电压、额定电流不太大的中、小型同步电机和异步电机的定子绕组。

4. 波绕组

特点：两个相连的单匝线圈成波浪形前进。
连接规律：把所有同一极性下（如 N 极）属于同一相的线圈按波浪形依次串联起来，组成一组；再把所有另一极性（如 S 极）下属于同一相的线圈按波浪形依次串联起来，组成另一组；最后把这两大组线圈根据需要串联或并联，构成一相绕组。
优点：可减少线圈之间的连接线。
应用：通常水轮发电机的定子绕组及绕线式异步电动机的转子绕组采用波绕组。

5. 双层绕组连接步骤

分极分相：将总槽数按给定的极数均匀分开（N、S 极相邻分布）；
将每个极域的槽数按三相均匀分开，三相在空间错开 $120^\circ$ 电角度；
根据给定的线圈节距连线圈（上层边与下层边合一个线圈），以上层边所在槽号标记线圈编号；
将同一极域内属于同一相的某两个线圈边连成一个线圈（共有 $q$ 个线圈）；
将同一极域内属于同一相的 $q$ 个线圈连成一个线圈组，以上连接应符合电动势相加原则；
连相绕组：将属于同一相的 $2p$ 个线圈组连成一相绕组，并标记首尾端；
连三相绕组：将三个构造好的单相绕组连成完整的三相绕组，采用三角形接法或星形接法。

五、正弦磁场中交流绕组的感应电动势

1. 交流电机绕组感应电动势频率

电机转子每转过一对磁极，导体中电动势变化一个周期；当极对数为 $p$ 时，转子转一周，电动势变化 $p$ 个周期。定子绕组感应电动势的频率为：

$f = \frac{pn}{60}$

其中 $n$ 为转速（r/min）。

2. 一根导体的感应电动势

假设：定子圆周上放一整距线圈，线圈匝数为 $N_c$ ，转子上有 $p$ 对磁极。将电机沿轴向剖开展开为直线，转子磁通密度沿气隙按正弦波形在空间分布：

$B_x = B_{m1} \sin \alpha$

一根导体中感应电动势：

$e_{a1} = B_{m1} lv \sin \omega t = E_{a1m} \sin \omega t$

最大值：

$E_{a1m} = B_{m1} lv$

速度：

$v = \frac{2p\tau n}{60} = 2\tau f$

有效值：

$E_{a1} = \frac{E_{a1m}}{\sqrt{2}} = \frac{B_{m1} lv}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} f B_{m1} l \tau$

正弦磁通密度的幅值和平均值关系：

$B_{av} = \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} B_{m1} \sin x dx = \frac{2}{\pi} B_{m1}$

每极基波磁通：

$\phi_1 = B_{av} \tau l = \frac{2}{\pi} B_{m1} \tau l$

导体感应电动势有效值（常用公式）：

$E_{a1} = 2.22 f \phi_1$

小结：绕组中均匀分布的导体中感应电动势有效值/频率/波形均相同，但相位不同。

3. 整距线圈的感应电动势

一匝线圈由两根有效边和前后接线组成，有效边切割主磁场并感应电动势，端接线在铁心长度外，不切割主磁场，也不感应电动势。

两有效边处于磁场中 N、S 下相反位置，其感应电势相位差 $180^\circ$ 电角度。

整距线圈的电动势为两有效边电动势的算术和，每匝电动势有效值等于每根导体电动势有效值的两倍：

$\dot{E}_{t1} = \dot{E}_{a1} + \dot{E}_{a2} = 2\dot{E}_{a1}$

$E_{a1} = 2.22 f \phi_1$

单匝整距线圈感应电动势基波有效值：

$E_{t1} = 2E_{a1} = 4.44 f \phi_1$

$N_c$ 匝整距线圈电动势有效值：

$E_{c1} = N_c E_{t1} = 4.44 N_c f \phi_1$

讨论与引伸：与变压器感应电动势公式相同。无论变压器还是交流电机，线圈中所交链的磁通，在时间上都按正弦规律变化，使线圈感应电动势在时间上也按正弦规律变化。但变压器线圈中的磁通本身随时间正弦脉动感应电动势，而交流电机线圈中的磁通按正弦规律变化是由于主极磁通与线圈相互切割而感应电动势的。交流电机中，感应电动势仍然是滞后产生它的磁通 $90^\circ$ 。

4. 短距线圈的感应电动势和短距系数

线圈一个有效边处于 N 极下最大磁通密度处，另一有效边不在 S 极下最大磁通密度处。设线圈节距为 $y$ ，则节距所对应的电角度为 $y/\tau \times 180^\circ$ ，较整距线圈一个节距相距 $180^\circ$ 电角度减小了 $\beta$ ：

$\beta = \frac{\tau - y}{\tau} \times 180^\circ$

短距线圈的感应电动势：

$\dot{E}_{t1} = \dot{E}_{a1} + \dot{E}_{a2} \neq 2\dot{E}_{a1}$

短距线圈的两有效边感应电动势大小相等，但沿回路方向相位不相同，相差 $\beta$ 电角度。

短距线圈的电动势有效值：

$E_{t1} = 2E_{a1} \cos \frac{\beta}{2} = 4.44 f \phi_1 \cos\left(\frac{\tau - y}{\tau} \times 90^\circ\right) = 4.44 f \phi_1 \sin\left(\frac{y}{\tau} \times 90^\circ\right) = 4.44 f k_{y1} \phi_1$

基波短距系数 $k_{y1}$ ：

$k_{y1} = \frac{\text{短距线圈基波电动势}}{\text{整距线圈基波电动势}} = \cos \frac{\beta}{2} = \sin\left(\frac{y}{\tau} \times 90^\circ\right)$

讨论与引伸：短距系数小于 1，故短距线圈感应电动势有所损失；但短距可以削弱高次谐波。

单匝线圈的电动势有效值（通用）：

$E_{t1} = 4.44 f k_{y1} \phi_1$

$N_c$ 匝短距线圈电动势有效值：

$E_{c1} = N_c E_{t1} = 4.44 N_c f k_{y1} \phi_1$

5. 线圈组的感应电动势和分布系数

线圈组：单层绕组一对极下属于同一相的 $q$ 个线圈组成一个线圈组。线圈组的各线圈放在不同槽内，各线圈轴线在空间不重合，所产生的感应电动势有相位差。

交流绕组一般为分布绕组，不论双层或单层绕组，每个线圈组（极相组）都由相距为 $\alpha$ 角的 $q$ 个线圈串联而成。在一个极相组，相邻线圈电动势的相位差即为槽距角 $\alpha$ 。线圈组电动势为 $q$ 个线圈电动势相量和。

基波分布系数 $k_{q1}$ ：

$k_{q1} = \frac{\sin\left(q \cdot \dfrac{\alpha}{2}\right)}{q \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}$

线圈组的感应电动势：

$E_{q1} = q E_{c1} k_{q1} = 4.44 q N_c f k_{y1} k_{q1} \phi_1$

六、关键公式汇总

应用场景	核心公式
电角度计算	$\text{电角度} = p \times \text{机械角度}$
极距	$\tau = \dfrac{\pi D}{2p} = \dfrac{Z}{2p}$
槽距角	$\alpha = \dfrac{p \times 360^\circ}{Z}$
每极每相槽数	$q = \dfrac{Z}{2pm}$
感应电动势频率	$f = \dfrac{pn}{60}$
导体感应电动势有效值	$E_{a1} = 2.22 f \phi_1$
整距线圈电动势	$E_{t1} = 4.44 f \phi_1$
短距系数	$k_{y1} = \cos\dfrac{\beta}{2} = \sin\left(\dfrac{y}{\tau} \times 90^\circ\right)$
短距线圈电动势	$E_{t1} = 4.44 f k_{y1} \phi_1$
$N_c$ 匝线圈电动势	$E_{c1} = 4.44 N_c f k_{y1} \phi_1$
分布系数	$k_{q1} = \dfrac{\sin\left(q \cdot \dfrac{\alpha}{2}\right)}{q \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}$
线圈组电动势	$E_{q1} = 4.44 q N_c f k_{y1} k_{q1} \phi_1$