矩阵的列向量：线性变换的说明书

矩阵的两列分别告诉我们 e₁、e₂ 变换后要落在哪里。

当前矩阵满秩，空间维度没有被压缩。

先看一个问题

矩阵常常被介绍成一张数表：

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}.

但如果只把它看成数表，很容易忘记它真正做的事情：矩阵是一个把向量送到另一个向量的规则，也就是一个线性变换。

下面的实验把矩阵的每一列单独拿出来。拖动滑块，观察网格如何跟着列向量改变。

（见本页最开头的可交互动画）

设标准基向量为

\mathbf e_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad \mathbf e_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.

矩阵的两列正好告诉我们：

A\mathbf e_1 = \mathbf v_1, \qquad A\mathbf e_2 = \mathbf v_2.

任意向量都可以写成 $\mathbf x=x_1\mathbf e_1+x_2\mathbf e_2$ ，所以根据线性性：

A\mathbf x=x_1A\mathbf e_1+x_2A\mathbf e_2=x_1\mathbf v_1+x_2\mathbf v_2.

这就是交互图的核心：先把平面中的点拆成两个方向的分量，再用同样的分量去组合两根新的列向量。整个平面上的网格因此被同时拉伸、旋转、剪切，或者翻转。

单位正方形的四个顶点是 $0,\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_1+\mathbf e_2$ 。变换之后，它们变成：

0,\quad \mathbf v_1,\quad \mathbf v_2,\quad \mathbf v_1+\mathbf v_2.

因此，单位正方形会变成由 $\mathbf v_1$ 和 $\mathbf v_2$ 张成的平行四边形。它的有向面积就是行列式：

\det(A)=\det[\mathbf v_1\ \mathbf v_2].

二维模式下可以观察到：行列式为负时，方向发生了翻转；行列式为零时，两列向量共线，整个平面被压扁到一条直线。

在交互区下方，可以直接把矩阵切换到不满秩的情况。二维的“秩 1”按钮会让两列向量共线，于是原来的二维平面被压到一条直线；此时

\det(A)=0.

在这种情况下，面积彻底被压缩成线，矩阵的列空间只剩下一条方向，因此所有输出向量都落在同一条直线上。

切换到三维后，矩阵有三列：

A=[\mathbf v_1\ \mathbf v_2\ \mathbf v_3].

它们分别是 $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$ 的像。单位立方体会被送到由三根列向量张成的平行六面体，其体积为 $|\det(A)|$ 。

三维图使用平行投影来展示空间结构，因此屏幕上的长度不等于真实长度，但三根向量的相对关系和体积缩放规律仍然由矩阵决定。

三维模式提供“秩 2”和“秩 1”两个按钮。秩 2 时，三个列向量只张成一个平面，立方体被压成平行四边形；秩 1 时，三个列向量共线，立方体进一步被压成一条线。两种情况下都有

\det(A)=0,

因为变换后的图形不再占据完整的三维空间。一般地，一个 $n\times n$ 矩阵满秩，当且仅当它的列向量能够张成整个 $n$ 维空间；一旦列向量之间出现线性相关，变换就会丢失至少一个方向。

所以我们可以总结：矩阵的列向量不是表格里的“竖着的一组数字”，而是线性变换对标准基的回答：标准基去了哪里，整个空间就会按照线性组合一起去哪里。