电机学（2） 变压器空载与负载运行

3.1 变压器的空载运行 知识点整理

一、基本概念

空载运行定义：指一次绕组接额定频率、额定电压的交流电源，二次绕组开路时的运行状态。

空载运行过程：空载电流 → 空载磁动势 → 空载磁通 → 主磁通和漏磁通 → 主磁路和漏磁路

---

二、物理量正方向的规定

物理量	正方向规定
电源电压	由A→X，一次侧电流正方向与电源正方向一致（A→X），按"负载"惯例
磁动势	与产生该磁动势的电流正方向符合右手螺旋关系
磁通	与磁动势的正方向一致
感应电动势	电位升高的方向，与产生该电动势的磁通正方向符合右手螺旋关系
二次侧	按"电源惯例"，绕组电动势看作电源电动势，a-x之间接负载时，二次侧电流正方向与感应电动势正方向一致

---

三、空载电流

定义：变压器空载运行时，一次绕组流过的电流。

作用：

• 建立空载磁场（主磁通Φₘ 和一次绕组的漏磁通Φ₁σ）
• 补偿空载时变压器有功功率损耗

性质：

• 无功分量 >> 有功分量，无功性质
• 又称激磁电流或励磁电流
• 空载电流大约为额定电流的2%以内
• 变压器容量越大，空载电流百分数越小

GB/T 6451-2015标准：

• 6kV、10kV配变，200kVA以下：<1.5%
• 200kVA以上：<1.0%
• 2500kVA为0.4%
• 500kV电压等级334MVA以上：为0.1%

波形特点：

• 励磁电流的大小和波形取决于铁心饱和程度（Bm）
• 磁路不饱和：磁化曲线近似线性，Φ为正弦波，i也为正弦波
• 磁路饱和：Φ为正弦波，励磁电流为尖顶波（含基波和3、5、7次等奇次谐波）
• 要建立正弦波主磁通，励磁电流必须是尖顶波
• 若励磁电流i为正弦波，则磁通波形为平顶波

---

四、主磁通与漏磁通

主磁通

• 主磁路沿铁心闭合，磁阻小，主磁通大
• 主磁路磁阻不是常数，主磁通和空载电流非线性
• 主磁通交链一次和二次绕组，分别感应电动势
• 二次绕组感应电动势相当于负载的电源
• 通过主磁通的耦合作用，变压器实现能量传递
• 交变磁通才能在绕组感应电动势，所以变压器只能传递交流电能，且无法改变交流电的频率

主磁通和漏磁通的区别

特性	主磁通	漏磁通
磁路性质	铁磁材料，有磁饱和，主磁通与空载电流非线性	非铁磁材料，无磁饱和，漏磁通与空载电流线性
磁阻	磁阻小，占总磁通绝大部分	磁阻大，仅占0.1%~0.2%
功能	传递能量	只感应电动势，不传递功率

---

五、空载磁动势

$$\dot{F}_0 = \dot{I}_0 N_1$$

空载磁动势产生主磁通Φₘ 和漏磁通Φ₁σ。

空载时，铁心中只有空载磁动势产生的磁场。为了分析方便，把磁通根据其所经过的路径不同分为主磁通和漏磁通，以便于把非线性问题和线性问题分别讨论。

---

六、一次和二次绕组的感应电动势

一次绕组感应电动势

瞬时值：

$$e_1 = -N_1\frac{d\phi}{dt} = -\omega N_1 \phi_m \cos\omega t = \omega N_1 \phi_m \sin(\omega t - \frac{\pi}{2}) = E_{1m}\sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$$

其中 $E_{1m} = \omega N_1 \phi_m$ 为一次绕组感应电动势的最大值。

有效值：

$$E_1 = \frac{E_{1m}}{\sqrt{2}} = \frac{\omega N_1 \phi_m}{\sqrt{2}} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}}fN_1\phi_m = 4.44fN_1\phi_m$$

相量形式：

$$\dot{E}_1 = -j\frac{\omega N_1}{\sqrt{2}}\dot{\Phi}_m = -j4.44fN_1\dot{\Phi}_m$$

结论：感应电动势滞后产生该电势的磁通90°

二次绕组感应电动势

主磁通在二次绕组所感应的电动势：

$$e_2 = -N_2\frac{d\phi}{dt} = -\omega N_2 \phi_m \cos\omega t = \omega N_2 \phi_m \sin(\omega t - \frac{\pi}{2}) = E_{2m}\sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$$

其中 $E_{2m} = \omega N_2 \phi_m$ 为二次绕组感应电动势的最大值。

有效值：

$$E_2 = 4.44fN_2\phi_m$$

结论：感应电动势有效值与主磁通的频率、绕组匝数及主磁通最大值成正比。感应电动势频率与主磁通频率相等，电动势相位滞后主磁通90°。

漏感电动势

一次绕组漏磁通感应漏感电动势：

$$\dot{E}_{1\sigma} = -j\dot{I}_0 x_{1\sigma}$$

其中 $x_{1\sigma} = \omega L_{1\sigma} \propto N_1^2 \Lambda_{1\sigma}$ 为一次侧漏电抗（常数）。

漏磁路是线性磁路，即一次绕组漏感电动势与空载电流成线性关系。

---

七、空载损耗

思考：变压器空载时，损耗为零？

答：空载时，输出功率为零，变压器从电源吸取小部分有功功率，补偿变压器内部功耗，这部分功率转化为热能散逸，称为空载损耗。

组成：

• 一次绕组铜耗 $P_{Cu}$，可忽略
• 铁心铁耗 $P_{Fe}$（磁滞损耗和涡流损耗）

近似：

$$p_0 \approx p_{Fe}$$

空载损耗较小，一般占额定容量的0.2%~1%。但电力变压器在电力系统中用量大，且常年接在电网上，所以减小变压器空载损耗具有重要的经济意义。

---

八、空载运行时的电动势方程及变比

电动势方程

$$\dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + j\dot{I}_0 x_{1\sigma} + \dot{I}_0 r_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_0 Z_1$$

$$\dot{U}_{20} = \dot{E}_2$$

其中 $Z_1 = r_1 + jx_{1\sigma}$ 为一次绕组漏阻抗。

励磁阻抗

感应电动势为空载电流在阻抗上的阻抗压降：

$$-\dot{E}_1 = \dot{I}_0 Z_m = \dot{I}_0(r_m + jx_m)$$

• 励磁阻抗：$Z_m = r_m + jx_m$
• 励磁电抗 $x_m$：对应主磁通的电抗，表示主磁通在铁芯中的磁化作用
• 励磁电阻 $r_m$：对应铁耗的等效电阻，$p_{Fe} = I_0^2 r_m$

励磁阻抗的物理意义：$Z_m$ 表示铁芯磁化性能及铁耗的综合参数

$$x_m = \omega L_m = 2\pi f N_1^2 \Lambda_m$$

$$r_m = \frac{p_{Fe}}{3I_0^2} \text{（三相）}$$

近似关系

忽略一次绕组漏阻抗压降：

$$\dot{U}_1 \approx -\dot{E}_1$$

$$U_1 \approx E_1 = 4.44fN_1\phi_m$$

重要结论：

• 外施电压由一次绕组感应电动势平衡，即外施电压与感应电动势大小相等，相位相反，又称为反电动势
• 电源频率和匝数为常数时，主磁通最大值与电源电压成正比
• 电源电压一定，主磁通最大值一定，产生主磁通的励磁磁动势也一定

变比

定义：衡量变压器一、二次电压的变换幅度。变压器一次绕组与二次绕组相电动势之比，用符号K表示：

$$K = \frac{E_1}{E_2} = \frac{4.44fN_1\phi_m}{4.44fN_2\phi_m} = \frac{N_1}{N_2}$$

近似用一、二次绕组电压比表示：

$$K = \frac{E_1}{E_2} \approx \frac{U_1}{U_{20}}$$

结论：变压器的变比等于一、二次绕组的匝数比，约等于空载时一、二次绕组电压比。

---

九、空载运行时的等效电路

$$\dot{U}_1 = \dot{I}_0 Z_m + \dot{I}_0 Z_1 = \dot{I}_0(Z_m + Z_1)$$

等效电路组成：

• 一次绕组漏阻抗 $Z_1 = r_1 + jx_{1\sigma}$（串联）
• 励磁阻抗 $Z_m = r_m + jx_m$（并联在感应电动势两端）

---

十、空载运行时的基本方程

$$\begin{cases} \dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_0 r_1 + j\dot{I}_0 x_{1\sigma} \\[6pt] \dot{U}_{20} = \dot{E}_2 \\[6pt] \dot{E}_1 = -j4.44fN_1\dot{\Phi}_m \\[6pt] \dot{E}_2 = -j4.44fN_2\dot{\Phi}_m \\[6pt] \dot{I}_0 = \dot{I}_m + \dot{I}_{Fe} \end{cases}$$

方程	物理意义
$\dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_0 r_1 + j\dot{I}_0 x_{1\sigma}$	一次侧电压平衡方程：外施电压 = 反电动势 + 漏阻抗压降
$\dot{U}_{20} = \dot{E}_2$	二次侧空载电压等于感应电动势
$\dot{E}_1 = -j4.44fN_1\dot{\Phi}_m$	一次绕组感应电动势（滞后磁通90°）
$\dot{E}_2 = -j4.44fN_2\dot{\Phi}_m$	二次绕组感应电动势（滞后磁通90°）
$\dot{I}_0 = \dot{I}_m + \dot{I}_{Fe}$	空载电流分解：磁化电流 + 铁耗电流

十一、空载运行时的相量图

从电网吸收功率，极少为一次绕组电阻损耗，主要是铁耗。励磁电流除磁化电流分量外，还有很小的铁耗分量。

• 磁化电流（无功）>> 铁耗电流（有功）
• 空载功率因数很低，感性，0.1-0.2左右

相量关系：

• $\dot{\Phi}_m$ 为参考相量（水平向右）
• $\dot{E}_1$ 滞后 $\dot{\Phi}_m$ 90°
• $\dot{I}_{0a}$（有功分量）与 $-\dot{E}_1$ 同相
• $\dot{I}_{0r}$（无功分量）滞后 $-\dot{E}_1$ 90°
• $\dot{I}_0 = \dot{I}_{0a} + \dot{I}_{0r}$

---

十二、讨论与引伸

问题1：一次绕组漏阻抗是常数，相当于一个空心线圈的参数。为什么？

因为漏磁路是线性磁路，磁导率为常数（非铁磁材料），所以漏电抗为常数。

问题2：主磁路磁阻不是常数，励磁阻抗也不是常数。

因为主磁路是铁磁材料，存在磁饱和现象，磁导率随饱和程度变化，所以励磁阻抗不是常数。

问题3：随着主磁路饱和程度的增大，变压器漏抗如何变化？励磁电阻和励磁电抗又如何变化？

答：

• 漏抗：不变（漏磁路为线性，与饱和程度无关）
• 励磁电阻 $r_m$：下降（饱和程度↑ → 铁耗↑ → 励磁电流↑↑ → $r_m$↓）
• 励磁电抗 $x_m$：下降（饱和程度↑ → 磁阻↑ → $x_m$↓）

变化链：

$$f=C,\ U↑ \rightarrow \phi↑ \rightarrow \text{铁心饱和程度}↑ \rightarrow \text{磁阻}↑ \rightarrow x_m↓$$

$$\text{铁耗}↑ \rightarrow \text{励磁电流}↑↑ \rightarrow r_m↓$$

---

十三、工程案例分析

案例1：气隙变化的影响

问题：当外加电压大小不变而铁心磁路中的气隙增大时，对直流线圈和交流线圈，其磁通、电感、电流将如何变化？

解析：

• 气隙↑ → 磁阻↑ → 电感↓（与电源性质无关）

类型	磁通	电流	说明
直流	磁通↓	电流不变	$U_1=I r_1$，电流与电源电压和电阻有关，与磁路无关。电流恒定，磁动势恒定，磁阻↑，磁通↓
交流	磁通一定	电流↑	$U_1=4.44fN_1\phi_m$，电源电压一定，磁通一定；磁通一定，气隙↑，磁阻↑，磁动势↑，电流↑

案例2：起重电磁铁

问题：某车间用于起重的起重电磁铁（吸盘）由于电源电压降低导致起重能力下降，给出解决的办法。

分析：起重电磁铁起重能力大小的影响因素——电磁力的计算公式——影响起重力的是电流和磁场。

解决：在电源电压降低，如何保证磁场不减小甚至磁场增大？减少线圈匝数。

$$U_1 = E_1 = 4.44fN\phi_m$$

$$N↓ \rightarrow \phi↑ \rightarrow B↑ \rightarrow L↓ \rightarrow X↓ \rightarrow I↑$$

---

十四、核心公式总结

公式	说明
$E_1 = 4.44fN_1\phi_m$	一次绕组感应电动势有效值
$E_2 = 4.44fN_2\phi_m$	二次绕组感应电动势有效值
$K = \frac{N_1}{N_2} = \frac{E_1}{E_2} \approx \frac{U_1}{U_{20}}$	变比
$\dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_0 Z_1$	一次侧电压方程
$-\dot{E}_1 = \dot{I}_0 Z_m$	励磁支路方程
$p_{Fe} = I_0^2 r_m$	铁耗计算
$x_m = 2\pi f N_1^2 \Lambda_m$	励磁电抗
$U_1 \approx E_1 = 4.44fN_1\phi_m$	电压与磁通关系（近似）

---

十四、难点总结

难点：参考方向的规定，磁路饱和程度对变压器各物理量的影响，运行条件变化对各物理量的影响，灵活应用。

关键理解点：

1. 为什么 $U_1 \approx E_1$（外施电压与反电动势平衡）
2. 为什么电源电压一定时，主磁通一定（恒磁通特性）
3. 主磁路与漏磁路的本质区别（非线性vs线性）
4. 励磁阻抗随饱和程度的变化规律
5. 直流与交流磁路的本质区别

3.2 变压器的负载运行

一、负载运行的基本概念

负载运行：一次绕组接交流电源，二次绕组接负载。

---

二、负载运行时的磁动势关系

1. 磁动势平衡方程

$$\dot{F}_0 = \dot{F}_1 + \dot{F}_2$$

展开为：

$$\dot{I}_0 N_1 = \dot{I}_1 N_1 + \dot{I}_2 N_2$$

或：

$$\dot{I}_1 N_1 = \dot{I}_0 N_1 + (-\dot{I}_2 N_2)$$

2. 物理意义

• $\dot{F}_0 = N_1\dot{I}_0$：空载磁动势，建立主磁通
• $\dot{F}_{1L} = -\dot{F}_2 = N_2\dot{I}_2$：负载分量，平衡二次绕组磁动势作用，大小与 $\dot{F}_2$ 相等，随负载大小改变

> 对电力变压器：$I_0 = (2\% \sim 10\%)I_{1N}$，$\dot{F}_0$ 相对较小

---

三、一次和二次绕组电流关系

$$\dot{I}_1 = \dot{I}_0 + (-\dot{I}_2/K) = \dot{I}_0 + \dot{I}_{1L}$$

其中：

• $\dot{I}_{1L} = -\dot{I}_2/K$：一次侧绕组电流的负载分量，其大小随负载变化而变化

一次侧电流的两个分量：

1. $\dot{I}_0$：用以建立主磁通
2. $\dot{I}_{1L} = -\frac{\dot{I}_2}{K}$：负载分量

讨论与引伸：

• 二次侧电流变化时一次侧电流也改变
• 一、二次侧电压一定时，二次侧电流↑ → 二次侧输出功率↑ → 一次侧电流↑，即从电源吸收功率↑
• 一、二次无直接电的联系，但两个绕组共用一个磁路，共同交链一个主磁通，借助主磁通变化，通过电磁感应作用，实现电压变换及功率传递

---

四、电动势平衡方程式

变压器负载运行时，一、二次侧绕组磁动势分别在各自绕组产生漏磁通：

$$\dot{F}_1 \rightarrow \dot{\phi}_{1\sigma} \rightarrow \dot{E}_{1\sigma} = -j\dot{I}_1 x_{1\sigma}$$

$$\dot{F}_2 \rightarrow \dot{\phi}_{2\sigma} \rightarrow \dot{E}_{2\sigma} = -j\dot{I}_2 x_{2\sigma}$$

基本方程式汇总：

$$\dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + j\dot{I}_1 x_1 + \dot{I}_1 r_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_1 Z_1$$

$$\dot{U}_2 = \dot{E}_2 - j\dot{I}_2 x_2 - \dot{I}_2 r_2 = \dot{E}_2 - \dot{I}_2 Z_2$$

$$\dot{I}_1 = \dot{I}_0 + (-\dot{I}_2/K)$$

$$K = \frac{E_1}{E_2} = \frac{N_1}{N_2}$$

$$-\dot{E}_1 = \dot{I}_0 Z_m = \dot{I}_0(r_m + jx_m)$$

$$\dot{U}_2 = \dot{I}_2 Z_L$$

---

五、绕组折算

目的：把一次和二次绕组的匝数变换成同一匝数，即把实际变压器模拟为变比为1的等效变压器。

折算原则：折算前后，变压器内部电磁关系不能改变，在磁动势、功率、损耗和漏磁场储能等保持不变的原则下进行。

表示方法：折算后各量在相应符号右上角加" ′ "

1. 电动势折算（将二次折算到一次）

折算前后主磁通和漏磁通保持不变：

$$\frac{E_2'}{E_2} = \frac{4.44fN_1\phi_m}{4.44fN_2\phi_m} = \frac{N_1}{N_2} = K$$

即：

• $E_2' = KE_2$
• $U_2' = KU_2$
• $E_{2\sigma}' = KE_{2\sigma}$

2. 电流的折算

折算前后磁动势保持不变：

$$\dot{I}_2' N_1 = \dot{I}_2 N_2 \Rightarrow \dot{I}_2' = \dot{I}_2 \frac{N_2}{N_1} = \frac{\dot{I}_2}{K}$$

3. 阻抗的折算

折算前后二次绕组电阻铜耗不变：

$$I_2'^2 r_2' = I_2^2 r_2 \Rightarrow r_2' = K^2 r_2$$

折算前后二次绕组漏电抗消耗无功保持不变：

$$x_2' = K^2 x_2$$

负载阻抗有同样关系：

$$Z_L' = K^2 Z_L$$

折算总结

物理量类型	单位	折算关系
电压、电动势	V	乘以变比 $K$
电流	A	除以变比 $K$
阻抗、电阻、电抗	Ω	乘以变比 $K^2$

折算后的基本方程式

$$\dot{U}_1 = -\dot{E}_1 + j\dot{I}_1 x_1 + \dot{I}_1 r_1 = -\dot{E}_1 + \dot{I}_1 Z_1$$

$$\dot{U}_2' = \dot{E}_2' - j\dot{I}_2' x_2' - \dot{I}_2' r_2' = \dot{E}_2' - \dot{I}_2' Z_2'$$

$$\dot{I}_1 = \dot{I}_0 + (-\dot{I}_2')$$

$$\dot{E}_1 = \dot{E}_2'$$

$$-\dot{E}_1 = \dot{I}_0 Z_m = \dot{I}_0(r_m + jx_m)$$

$$\dot{U}_2' = \dot{I}_2' Z_L'$$

---

六、等效电路

1. T形等效电路

由一次绕组、励磁支路、二次绕组三部分组成，和变压器基本方程组对应的电路。

2. 近似等效电路

当 $I_1 \gg I_0$，$I_{1N}Z_1 \approx (2.5 \sim 5)\%U_{1N}$ 时，可将励磁支路前移。

3. 简化等效电路

空载电流很小，$I_0 = (0.02 \sim 0.1)I_{1N}$，可忽略。

简化等效电路中的串联阻抗称为变压器的短路阻抗：

$$Z_k = Z_1 + Z_2' = r_k + jx_k$$

其中：

• $r_k = r_1 + r_2'$（短路电阻）
• $x_k = x_{1\sigma} + x_{2\sigma}'$（短路电抗）

变压器稳态短路电流：

$$I_k = U_1/Z_k$$

> 短路阻抗较小，短路电流很大，可达额定电流的10~20倍。

---

七、负载运行时的相量图

根据基本方程可画出负载运行时的相量图，用于讨论各物理量之间的相位关系。

---

八、分析计算变压器负载运行的三种方法

方法	说明	应用场景
基本方程式	电磁关系的数学表达式	理论分析
等值电路	基本方程式的模拟电路	定量计算
相量图	基本方程的图示表示	讨论相位关系

> 三者统一：定量计算用等效电路，讨论各物理量之间的相位关系用相量图。

---

九、知识点总结

负载运行时的电磁关系
├── 磁动势守恒（磁动势平衡）
├── 负载运行时的电动势方程
├── 绕组折算和等效电路
└── 负载运行时的相量图

难点：

• 绕组折算的原则
• 三种等效电路的应用场合