电磁场知识整理(2) 恒定电流场

以下电磁场知识点整理及题目均基于 马西奎 工程电磁场导论 北京 高等教育出版社, 2000. Print. 面向21世纪课程教材 Mian Xiang 21shi Ji Ke Cheng Jiao Cai = Textbook Series for 21st Century Eng. （第一版） 旨在为四川大学电气工程及其自动化专业的电磁场课程提供一个知识纲要性质的文本，以供课程平时学习及期末复习使用。考点及考试范围主要参考王仲老师的讲课内容及2024-2025学年期末考试题目，由于历年考试范围不同，其覆盖范围可能与实际考试范围有所出入。
由于转换整理工程量较大，可能存在失误，如笔记存在任何问题，可联系博客主QQ：1277492713进行反馈。原手写笔记也在此账号空间相册中，其中的部分笔误在此笔记中已修正。

第二章 恒定电流场

一、知识点

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1. 电流与电流密度

电荷在某个体积/面积/时间曲线内定向流动形成电流，电流密度 $\vec{J} = \rho \vec{v}$，其中 $\rho$ 为电荷体/面/线密度，$\vec{v}$ 为定向移动速度。它们分别对应面电流/线电流密度及线电流，并有

$$I = \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} \quad I = \int_l (\vec{K} \cdot \vec{e_n}) d{l} \quad I = \tau \vec{v} .$$

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2. 恒定电流场

若电流密度在各处都是时不变的，则称之为恒定电流场。

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3. 元电流的形式

共有以下四种：

• ① $I d\vec{l}$
• ② $ \vec{K} dl$
• ③ $ \vec{J} dS$
• ④ $ \vec{v} dq$

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4. 欧姆定律微分形式

$$\vec{J} = \gamma \vec{E}$$

其中 $\gamma$ 称为电导率。

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5. 焦耳定律微分形式

$$p = \vec{J} \cdot \vec{E} = \gamma E^2$$

其中$p$为场内某点的功率密度，即某区域内的总功率应为$\int_V pdV$%

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6. 电源内部与局外场强

在电源内部，除极板电荷累积形成的库仑场强$ \vec{E} $以外还有局外场强 $\vec{E}_e$，其方向与 $\vec{E}$ 相反。电源电动势 $\mathcal{E} = \int \vec{E}_e \cdot d\vec{l}$，而流过含源导体电流则为

$$\vec{J} = \gamma (\vec{E} + \vec{E}_e)$$

电源之外的区域只存在 $\vec{E}$。

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7. 电流连续性方程

$$\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = -\frac{\partial q}{\partial t}$$

对于恒定电场，为确保电场恒定，任意闭合面内应无电荷增减，从而退化为

$$\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = 0$$

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8. 环路定理

对含源回路，环路积分恒为

$$\oint (\vec{E}+\vec{E_e}) \cdot d\vec{l} = \mathcal{E}$$

若闭合回路不经过电源，则有

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

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9. 恒定电场基本方程

积分形式

$$\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = 0, \quad \oint_l \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

微分形式

$$\nabla \cdot \vec{J} = 0, \quad \nabla \times \vec{E} = 0$$

本构关系

$$\vec{J} = \gamma \vec{E}$$

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10. 不同导电媒质分界面上的衔接条件

$$\begin{cases} E_{1t} = E_{2t} (由\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{S} = 0可得) \\ J_{1n} = J_{2n} (由\oint_l \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0可得) \end{cases}$$

即

$$E_1 \sin \alpha_1 = E_2 \sin \alpha_2, \quad \gamma_1 E_1 \cos \alpha_1 = \gamma_2 E_2 \cos \alpha_2$$

从而可得折射定律

$$\frac{\tan \alpha_1}{\tan \alpha_2} = \frac{\gamma_1}{\gamma_2}$$

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11. 良导体与不良导体分界面

对于良导体与不良导体分界面的分界面，有 $\gamma_1 \gg \gamma_2$，从而可知无论 $\alpha_1$ 多大，$\alpha_2$ 一定很小，从而可知不良导体侧电流密度线可视作与分界面法线平行。进而分界面可近似视作等位线。

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12. 被理想介质包围的导体

由于对于理想介质$ \gamma_2 = 0 $ 故$\vec{J_2} = 0$，不存在恒定电流；但又由于$E_{1t} = E_{2t}$，故而 $E_t \neq 0$，故理想介质内存在切向电场分量。又由 $ J_{1n} = J_{2n} $ 知导体内电流方向均沿切向；理想介质无电流，但 $\vec{E_2}$ 不一定为零。由静电场边界条件有 $D_{2n} - D_{1n} = \sigma$，从而导体与理想介质分界面存在面电荷分布。

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13. 两导电媒质分界面处的电荷

由 $$ \vec{J_{1n}} = \vec{J_{2n}} \quad \vec{E_{1t}} = \vec{J_{2t}} $$

$$\vec{D_{1n}} - \vec{D_{2n}} =\varepsilon_1 \vec{E_{1n}} - \varepsilon_2 \vec{E_{2n}}=\sigma$$

可解得$$ \sigma = (\varepsilon_2 - \frac{\gamma_1}{\gamma_2})\vec{E_{1n}} = (\varepsilon_2 - \frac{\gamma_2}{\gamma_1}) \vec{E_{2n}} $$
若$\frac{\gamma_1}{\gamma_2}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}$，则有$\sigma =0$
对于恒定场，金属导体内近似有 $\varepsilon_1 \approx \varepsilon_2 \approx \varepsilon_0 $，从而可化简表达式。

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14. 恒定电场的边值问题

$$\nabla^2 \varphi = 0 \quad (\text{无源区域})$$

边界条件：$\varphi = \varphi_0$ 或 $\frac{\partial \varphi}{\partial n} = -\frac{J_n}{\gamma}$，以及衔接条件。

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15. 静电比拟

在一定条件下，可将一种场的计算推广成另一种，称之为静电比拟。对于无源静电场及无源电流场，两种求解形式相同：

$$\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = 0 \\ \nabla \cdot \vec{D} = 0 \\ \vec{D}=\epsilon \vec{E} \\ \nabla^2 \varphi = 0 \\ q = \oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = \Phi \end{cases}$$

$$\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = 0 \\ \nabla \cdot \vec{J} = 0 \\ \vec{J}=\gamma \vec{E} \\ \nabla^2 \varphi = 0 \\ I = \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} \end{cases}$$

故静电场的所有求解（包括特殊方法）均可运用于无源电流场。电导 $G = \frac{I}{V}$ 可采用静电比拟法求解，在条件一致的情况下，可得 $\frac{C}{G} = \frac{\varepsilon}{\gamma}$，从而将电容公式中的 $\varepsilon$ 换为 $\gamma$ 即可求得相应电导。

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16. 部分电导（多电极系统）

与部分电容类似，可通过以下方式求出部分电导：
① $\sum_{i=0}^{n} I_i = 0$，$[U] = [R][I]$
② $[I] = [G][U]$，$[G] = [R]^{-1}$
③ 作变量代换，使右侧 $U_{10}, U_{20}, \cdots, U_{n0}$ 变为 $U_{k0}, U_{kj} (k \neq j)$，此时

$$G_{k1} = -P_{k1}, G_{k2} = -P_{k2}$$

$$G_{k0} = \sum_{j=1}^n P_{kj}$$

进而得到 $[G]$。

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17. 接地电阻与跨步电压

接地电阻主要是指电流从接地导体流向无穷远的电阻，即大地电阻。对于深埋地内的导体，$R = \frac{1}{4\pi\gamma r}$；对于接地地面的导体，其接地电阻应为镜像系统接地电阻的两倍，即 $R = \frac{1}{2\pi\gamma r}$。在接地系统的近处，存在跨步电压，计算方法仅需求出地中电场 $\vec{E}$，再利用 $U_{ab} = \int_a^b E \, dl$ 解得。

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二、题型归纳

1. 利用定义求解电流

例 2.1.1（P30 T2-2）一半径为 $a$ 的均匀带电球，带电量总量为 $Q$。该球绕直径以角速度 $\omega$ 旋转，求：

(1) 球内各处电流密度
(2) 通过半径为a的半圆的总电流
解：电荷体密度 $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi a^3}$。当球旋转时，电荷运动形成电流，距旋转轴距离为 $r$ 处的线速度为 $v = \omega r$，电流密度 $J = \rho v = \frac{3Q \omega r}{4\pi a^3}$，方向垂直于转轴与径矢构成的平面。

(2) 若该球面上一点与转轴夹角为 $\alpha$，则通过以该点为圆心的一个小圆面积 $dS$ 的电流 $dI = J dS$，积分可得总电流

$$I = \int_S \vec{J} \, \cdot d\vec{S} = (待完成) .$$

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例 2.1.2（P30 T2-4）同轴线内外导体半径分别为 $a, b$，其间填充介质，电导率为 $\gamma$。内外导体间电压为 $U_0$。求单位长度导体的功率损耗。

解：采用静电比拟法，先求解电场，由 Gauss 定理有

$$E \cdot 2\pi r = \frac{U_0}{\ln(b/a)} \cdot \frac{1}{r} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{U_0}{r \ln(b/a)}$$

电流密度

$$J = \gamma E = \frac{\gamma U_0}{r \ln(b/a)}$$

功率损耗密度

$$p = J \cdot E = \gamma E^2 = \gamma \left( \frac{U_0}{r \ln(b/a)} \right)^2$$

单位长度损耗

$$P = \int_a^b p \cdot 2\pi r \, dr = \int_a^b \gamma \left( \frac{U_0}{\ln(b/a)} \right)^2 \frac{2\pi}{r} \, dr = \frac{2\pi \gamma U_0^2}{\ln(b/a)^2} \int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{2\pi \gamma U_0^2}{\ln(b/a)^2} \ln\left(\frac{b}{a}\right) =\frac{ 2\pi \gamma U_0^2}{\ln(b/a)}.$$

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2. 恒定电场求解（利用静电比拟，边值问题）

例 2.2.1（P30 T2-7）有两块不同电导率的薄钢片构成一导电弧片，$\gamma_1 = 6.5 \times 10^7\,\text{S/m}$，$\gamma_2 = 6.5 \times 10^6\,\text{S/m}$，$r_1 = 6.5 \times 10^{-3}\,\text{m}$，$r_2 = 12 \times 10^{-3}\,\text{m}$，$R_1 = 4.5\,\text{cm}$，$R_2 = 3.0\,\text{cm}$，厚度为 $2\,\text{mm}$，电极间电压 $U = 30\,\text{V}$，求：

(1) 弧片内电位分布（取 $x$ 轴向上为参考电位）。
(2) 总电流及弧片电阻。
(3) 分界面上，$\vec{D}$ 是否突变？
(4) 分界面电荷密度 $\sigma$。

解：采用柱坐标，设电位 $\varphi$ 仅为 $\theta$ 的函数，从而有边值问题如下：
(待补充)
从而解得两区域电位分别为 $\varphi_1 = C_1 \theta + C_2$，$\varphi_2 = C_3 \theta + C_4$。

由边界条件：
$\varphi_1(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0$；
$\varphi_2(\pi/2) = 30 \Rightarrow C_3 \cdot \frac{\pi}{2} + C_4 = 30$；
在分界面 $\theta = \pi/4$ 处，$\varphi_1 = \varphi_2$ 及电流密度法向连续 $J_{1n} = J_{2n}$（即 $\gamma_1 E_{1\theta} = \gamma_2 E_{2\theta}$，而 $E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}$，故 $\gamma_1 C_1 = \gamma_2 C_3$）。

由 $\varphi_1(\pi/4) = \varphi_2(\pi/4)$ 得 $\frac{\pi}{4}C_1 = \frac{\pi}{4}C_3 + C_4$。

联立解得：
$C_1 = 5.95$，$C_3 = 32.24$，$C_4 = -20.65$。

$$\therefore \varphi_1(\theta) = 5.95\theta \quad (0 \le \theta \le \pi/4)$$

$$\varphi_2(\theta) = 32.24\theta - 20.65 \quad (\pi/4 \le \theta \le \pi/2)$$

(2) 电场强度：
$E_1 = -\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi_1}{\partial \theta} = -\frac{5.95}{r}\,\text{V/m}$，
$E_2 = -\frac{32.24}{r}\,\text{V/m}$。

电流密度：
$J_1 = \gamma_1 E_1 = -\frac{3.8675\times10^8}{r}\,\text{A/m}^2$，
$J_2 = \gamma_2 E_2 = -\frac{2.0956\times10^8}{r}\,\text{A/m}^2$。

总电流 $I$ 需对径向截面积分，可解得 $I = 0.012\,\text{A}$，电阻 $R = \frac{U}{I} = 2500\,\Omega$。

$$I = 0.012\,\text{A}, \quad R = \frac{U}{I} = 2500\,\Omega.$$

(3) 由(2)知，$J$ 连续（法向），$E$ 突变，$D = \varepsilon E$ 也突变，故 $D$ 突变。

(4) 分界面电荷密度 $\sigma = D_{2n} - D_{1n} = \varepsilon_0 (E_{2n} - E_{1n})$，此处 $E_n$ 即 $\theta$ 方向分量，代入得

$$\sigma = \varepsilon_0 \left( \frac{32.24}{r} - \frac{5.95}{r} \right) = \frac{26.29 \varepsilon_0}{r} \,\text{C/m}^2.$$

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3. 求电导/部分电导、接地电阻、跨步电压等

例 2.3.1（P91 T2-13）一个由铜条组成的接地系统（视作半球形接地导体），已知其接地电阻为 $100\,\Omega$，土壤电导率 $\gamma = 10^{-2}\,\text{S/m}$，有短路电流 $500\,\text{A}$ 从铜条流入地，有人以 $0.6\,\text{m}$ 步距靠近接地系统，前足距铜条 $2\,\text{m}$，求跨步电压与球半径。

解：半球形接地体的接地电阻公式为 $R = \frac{1}{2\pi \gamma r_0}$，其中 $r_0$ 为半球半径。由 $R = 100\,\Omega$，$\gamma = 10^{-2}$ 得

$$100 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-2} \times r_0} \Rightarrow r_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-2} \times 100} = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159\,\text{m}.$$

地中电流 $I = 500\,\text{A}$，距球心 $r$ 处的电流密度 $J = \frac{I}{2\pi r^2}$（半球），电场 $E = \frac{J}{\gamma} = \frac{I}{2\pi \gamma r^2}$。

跨步电压指两脚之间的电压，设两脚分别距球心 $r_1 = 2\,\text{m}$ 和 $r_2 = 2.6\,\text{m}$，则

$$U_{ab} = \int_{r_1}^{r_2} E \, dr = \int_{2}^{2.6} \frac{I}{2\pi \gamma r^2} \, dr = \frac{I}{2\pi \gamma} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2.6} \right)$$

代入数值：$\frac{500}{2\pi \times 0.01} \approx 7958$，$\frac{1}{2} - \frac{1}{2.6} = 0.1154$，得 $U_{ab} \approx 918\,\text{V}$。 $$

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